Question

【题目】（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为　 　；

②线段AD，BE之间的数量关系为　 　．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=3，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②AD=BE；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由见解析；（3）或

【解析】

（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．

（1）∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB

∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中

AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=120°

∠AEB=∠CEB-∠CED=60°.

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．答案为：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如图 2，

∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD 和△BCE 中，

∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点 A，D，E 在同一直线上，∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）点A到BP的距离为或

理由如下：

∵PD=1，

∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上。

∵∠BPD=90，

∴点P在以BD为直径的圆上。

∴点P是这两圆的交点。

①当点P在如图3①所示位置时，

连接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足为H,

过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①。

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45.AB=AD=DC=BC=3,∠BAD=90.

∴BD=2.

∵DP=1，

∴BP=.

∵∠BPD=∠BAD=90，

∴A、P、D. B在以BD为直径的圆上，

∴∠APB=∠ADB=45.

∴△PAE是等腰直角三角形。

又∵△BAD是等腰直角三角形，点B. E. P共线，AH⊥BP，

∴由(2)中的结论可得：BP=2AH+PD.

∴=2AH+1.

∴AH= .

②当点P在如图3②所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，

过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②。

同理可得：BP=2AHPD.

∴=2AH1.

∴AH=.

综上所述：点A到BP的距离为或.