Question

3．如图，在平行四边形中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连结AM．
（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由
（2）当AP=1时，试求出四边形PMCN的面积．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得出PM＞CM，即可得出答案；
（2）求出△PM是等腰直角三角形，求出PC=CM=1，求出四边形PMCN是平行四边形，根据面积公式求出即可．

解答 解：（1）四边形PMCN不可能是菱形，
理由是：∵点P在运动过程中，△PCM始终是一个直角三角形，斜边PM大于直角边MC，
∴四边形PMCN不可能是菱形；

（2）∵AC=2，AP=1，
∴CP=1，
∵AC⊥BC，AC=BC=2，
∴∠BAC=45°，
∵PM∥AB，
∴∠CPM=∠BAC=45°，
∵AC⊥BC，
∴△CPM是等腰直角三角形，
∴CM=CP=1，
∵PM∥AB，PN∥AD，
∴四边形PMCN是平行四边形，
∴平行四边形PMCN的面积为CM×CP=1×1=1．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△PCM是等腰直角三角形，难度适中．