Question

4．如图，在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=80cm，连接AC、BD．动点P从点D出发，以5cm/s速度沿边DC匀速向点C运动，到达点C即停止，过点P作BD的垂线，垂足为T．设点P运动的时间为t s．
（1）当AP⊥BD时，AP的长是多少？
（2）设△APT面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式？并写出自变量t的取值范围；
（3）在P点的运动过程中，△APT的面积能否达到矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$？若能达到，求出此时t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出BD，再证明△APD∽△BDA，得出比例式$\frac{AP}{BD}=\frac{AD}{AB}$，即可求出AP；
（2）分两种情况：①当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部时，作AG⊥BD于G；先证明△DPT∽△DBC，得出对应边成比例$\frac{DT}{CD}=\frac{PT}{BC}=\frac{PD}{BD}$，即$\frac{DT}{80}=\frac{PT}{60}=\frac{5t}{100}$，得出DT=4t，PT=3t；再由AD•AB=BD•AG，求出AG=48，S_△APT=S_△AOP-S_△ATO-S_△OTP=$\frac{1}{2}$×60×5t-$\frac{1}{2}$×4t×48-$\frac{1}{2}$×4t×3t，即可得出y与t的函数关系式；
②当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部时，由①得：S_△APT=S_△ATO+S_△OTP-S_△AOP=6t²-54t，即可得出结果；
（3）当t=9时，A，T，P三点在一条直线上，点A，T，P不构成三角形；分两种情况：①当0＜t＜9时，列出方程求解看有无实数根即可；
②当9＜t≤16时，列出方程求解看有无实数根即可．

解答 解：（1）当AP⊥BD时，垂足为G，如图1所示：
则∠BGAD=90°，
∴∠BAG+∠ABD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=80cm，∠BAD=∠ADP=90°，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100，∠BAG+∠DAP=90°，
∴∠DAP=∠ABD，
∴△APD∽△BDA，
∴$\frac{AP}{BD}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{AP}{100}=\frac{60}{80}$，
∴AP=75；
（2）当A，T，P三点在一条直线上，点A，T，P不构成三角形，
此时，PD=$\sqrt{7{5}^{2}-6{0}^{2}}$=45，t=$\frac{45}{5}$=9；
∴分两种情况：
①当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部，如图2所示：
作AG⊥BD于G；
∵PT⊥BD，
∴∠PTD=90°，
∴∠PTD=∠BCD=90°，
又∵∠PDT=∠BDC，
∴△DPT∽△DBC，
∴$\frac{DT}{CD}=\frac{PT}{BC}=\frac{PD}{BD}$，即$\frac{DT}{80}=\frac{PT}{60}=\frac{5t}{100}$，
∴DT=4t，PT=3t；
由AD•AB=BD•AG，可得：AG=48，
∴S_△APT=S_△AOP-S_△ATO-S_△OTP
=$\frac{1}{2}$×60×5t-$\frac{1}{2}$×4t×48-$\frac{1}{2}$×4t×3t
=-6t²+54t，
∴y=-6t²+54t；
②当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部时，如图3所示：
作AG⊥BD于G，
此时S_△APT=S_△ATO+S_△OTP-S_△AOP=6t²-54t，
∴y=6t²-54t；
综上所述：当0＜t＜9时，y=-6t²+54t；当9＜t≤16时，y=6t²-54t；
（3）不能；理由如下：
∵矩形ABCD的面积=80×60=4800，若S_△APT=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=1200，
①当0＜t＜9时，-6t²+54t=1200，即t²-9t+200=0．
此时，△=（-9）²-4×1×200＜0，
∴该方程无实数根．
∴当0＜t＜9时，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$；
②当9＜t≤16时，6t²-54t=1200，即t²-9t-200=0．
解得：t=$\frac{9±\sqrt{881}}{2}$（负值舍去），
∵881＞625=25²，
∴t=$\frac{9+\sqrt{881}}{2}$＞$\frac{9+\sqrt{625}}{2}$=17，
而此时9＜t≤16，
∴t=$\frac{9+\sqrt{881}}{2}$也不符合题意，应舍去．
∴当9＜t≤16时，以A，P，T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$；
综上所述，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$．

点评 本题是相似形综合题，考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算方法、一元二次方程的解法等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线和分类讨论的方法，通过证明三角形相似和解方程才能得出结果．