Question

9．如图，已知抛物线y=ax²+c交x轴于点A（-2，0）和点B，交y轴于点C（0，-2）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△ACP相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直接将点的坐标代入抛物线的解析式求出a、c的值就可以求出抛物线的解析式．
（2）利用抛物线的解析式，求出点A、B、C的坐标，求出△ABC的形状，利用平行线的性质求出∠PAB的度数，将四边形分为两个三角形的面积求和即可．
（3）假设存在与△ACP相似的三角形，从点M在y轴的左侧和在y轴的右侧的不同对应角根据相似三角形的性质分别考虑△AMG∽△PCA，△MAG∽△PCA求出其值即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+c过A（-2，0）和C（0，-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2；
（2）令y=0，$\frac{1}{2}$x²-2=0，
解得x₁=2，x₂=-2
∴B（2，0）
∵A（-2，0），C（0，-2）
∴OA=OB=OC=2，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°
如图1，过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形

令OE=a，则PE=a+2，
∴P（a，a+2）
∵点P在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2上，
∴a+2=$\frac{1}{2}$a²-2，
解得a₁=4，a₂=-2（不符合题意）
∴PE=6
∴四边形ACBP的面积S=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$AB•PE
=$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×4×6
=16；

（3）假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC．
∵MG⊥x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°．
在Rt△AOC中，OA=OC=2
∴AC=2$\sqrt{2}$．
在Rt△PAE中，AE=PE=6，
∴AP=6$\sqrt{2}$，
设M点的横坐标为m，则M （m，$\frac{1}{2}$m²-2）
①如图2，点M在y轴左侧时，则m＜-2，

（ⅰ） 当△AMG∽△PCA时，有 $\frac{AG}{PA}$=$\frac{MG}{CA}$，
∵AG=-m-2，MG=$\frac{1}{2}$m²-2，
即 $\frac{-m-2}{6\sqrt{2}}$=$\frac{{\frac{1}{2}m}^{2}-2}{2\sqrt{2}}$，
解得m₁=-2（舍去） m₂=$\frac{4}{3}$（舍去）
（ⅱ） 当△MAG∽△PCA时有 $\frac{AG}{CA}$=$\frac{MG}{PA}$，即 $\frac{-m-2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{{\frac{1}{2}m}^{2}-2}{6\sqrt{2}}$，
解得：m₁=-2（舍去），m₂=-4，
∴M（-4，6）
②如图3，点M在y轴右侧时，则m＞2，

（ⅰ） 当△AMG∽△PCA时有 $\frac{AG}{PA}$=$\frac{MG}{CA}$，
∵AG=m+2，MG=$\frac{1}{2}$m²-2，
∴$\frac{m+2}{6\sqrt{2}}$=$\frac{{\frac{1}{2}m}^{2}-2}{2\sqrt{2}}$，
解得m₁=-2（舍去） m₂=$\frac{8}{3}$，
∴M（$\frac{8}{3}$，$\frac{14}{9}$）
（ⅱ） 当△MAG∽△PCA时有 $\frac{AG}{CA}$=$\frac{MG}{PA}$，即 $\frac{m+2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{{\frac{1}{2}m}^{2}-2}{6\sqrt{2}}$，
解得：m₁=-2（舍去），m₂=8，
∴M（8，30），
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-4，6），（$\frac{8}{3}$，$\frac{14}{9}$），（8，30）．

点评 本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行线的性质，相似三角形的判定及性质及多边形的面积．