Question

18．如图，正方形纸片ABCD的对角线AC、BD相交于O，折叠正方形纸片，点A恰好落在BD上的F点处．展开后，折痕DE分别交AB、AC于E、G，连接GF．下列结论：
①∠AGD=112.5°；②$\frac{AD}{AE}=2$；③S_△AGD=S_△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．
其中，正确结论的序号是①④⑤．

Answer 1

分析 先利用正方形的性质得AD=AB，AC⊥BD，∠ADO=BAO=∠ABD=45°，再根据折叠的性质得AE=EF，AG=GF，∠ADE=∠FDE=22.5°，∠EFD=∠EAD=90°，则利用三角形外角性质可计算出∠AGD=∠GOD+∠ODG=112.5°，于是可对①进行判断；通过证明△BEF为等腰直角三角形得BE=$\sqrt{2}$EF，则BE=$\sqrt{2}$AE，所以$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AE+BE}{AE}$=1+$\sqrt{2}$，即有$\frac{AD}{AE}$=1+$\sqrt{2}$，于是可对②进行判断；证明△OGD为等腰直角三角形得到GF=$\sqrt{2}$OG，则AG=$\sqrt{2}$OG，根据三角形面积公式可得S_△AGD=$\sqrt{2}$S_△OGD，于是可对③进行判断；先由∠GFO=∠ABO=45°，∠BEF=∠BAO=45°判断GF∥AB，EF∥AO，则四边形AEFG为平行四边形，再加上AE=EF，则四边形AEFG为菱形，于是可对④进行判断；根据菱形的性质得EF=GF，加上BE=$\sqrt{2}$EF，GF=$\sqrt{2}$OG，所以BE=2OG，则可对⑤进行判断．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，AC⊥BD，∠ADO=BAO=∠ABD=45°，
∵折叠正方形ABCD，使点A恰好落在BD上的F点，
∴AE=EF，AG=GF，∠ADE=∠FDE=22.5°，∠EFD=∠EAD=90°，
∴∠AGD=∠GOD+∠ODG=90°+22.5°=112.5°，所以①正确；
∵∠EFB=90°，∠EBF=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$EF，
∴BE=$\sqrt{2}$AE，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AE+BE}{AE}$=$\frac{AE+\sqrt{2}AE}{AE}$=1+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AD}{AE}$=1+$\sqrt{2}$，所以②错误；
∵∠EFO=90°，∠EFG=45°，
∴∠GFO=45°，
∴△OGD为等腰直角三角形，
∴GF=$\sqrt{2}$OG，
而AG=GF，
∴AG=$\sqrt{2}$OG，
∴S_△AGD=$\sqrt{2}$S_△OGD，所以③错误；
∵∠GFO=∠ABO=45°，∠BEF=∠BAO=45°，
∴GF∥AB，EF∥AO，
∴四边形AEFG为平行四边形，
而AE=EF，
∴四边形AEFG为菱形，所以④正确；
∴EF=GF，
∵BE=$\sqrt{2}$EF，GF=$\sqrt{2}$OG，
∴BE=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$OG=2OG，所以⑤正确．
故答案为①④⑤．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的判定与性质和正方形的性质．