Question

8．直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A的坐标为（8，0）．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是直线在第一象限内的动点（0＜x＜8），试确定点P的坐标，使△OAP的面积为12；
（3）在（2）的条件下，以OP为腰在坐标轴上是否存在点C，使三角形OPC成等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据三角形的面积求得P的纵坐标，代入直线解析式求得横坐标，即可求得P的坐标；
（3）分四种情况根据等腰三角形的性质分别讨论即可求得．

解答 解：（1）∵直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A的坐标为（8，0）．
∴8k+6=0，解得k=-$\frac{3}{4}$；
（2）∵点A的坐标为（8，0），
∴OA=8，
∵△OAP的面积为12，
设P的纵坐标为y，
∴$\frac{1}{2}$×8y=12，解得y=3，
代入y=-$\frac{3}{4}$x+6得，3=-$\frac{3}{4}$x+6，
解得x=4，
∴P（4，3）；
（3）存在，
∵P（4，3），
∴OP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
①当C点在x轴的正半轴上时，C（8，0）；
②当C点在x轴的负半轴上时，C（-5，0）；
③当C点在y轴的正半轴上时，C（0，6）；
④当C点在y轴的负半轴上时，C（0，-5）；
故C点的坐标为（8，0）或（-5，0）或（0，6）或（0，-5）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．