Question

【题目】如图，△ ABC中，∠ ABC＝90°，AB＝BC，D在边 AC上，AE┴ BD于 E．

(1) 如图 1，作 CF⊥ BD于 F，求证：CF－AE＝EF；

(2) 如图 2，若 BC＝CD，求证：BD=2AE ；

(3) 如图3，作 BM ⊥BE，且 BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接 CM交 BE于 N，请直接写出△BCM的面积为______．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)5.

【解析】

（1）根据已知条件证明△ABE≌△BCF，即可求解；

（2）过点C作 CF⊥BD于点F，由（1）可知AE=BF=DF，故可求解；

（3）过点C作 CF⊥BD于点F，由（1）得△ABE≌△BCF，再证△BMN≌△FCN,根据S△BCM= S△BCN+S△MBN = S△BCN+S△CFN= S△BCM=即可求解.

(1) 证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，

∴∠AEB=∠CFB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，

又∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

在中，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴BE=CF，AE=BF，

∴CF-AE= BE-BF=EF．

(2)过点C作 CF⊥BD于点F，

∵BC=CD

∴BF=DF

由（1）得AE=BF，

∴AE=DF

∴BD=2AE

(3) 由（1）得△ABE≌△BCF

∵BM＝BE

∴BM＝CF

∵BM ⊥BE，∴∠MBN=∠CFN

又∠MNB=∠CNF

∴△BMN≌△FCN，∴BN=FN

∵AE＝2，EN＝4，

∴BF=AE=2,BN=BF=1

故BE=5,

∴S△BCM= S△BCN+S△MBN = S△BCN+S△CFN=