Question

11．如图1，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式是y=-x+2．菱形ABCD的对角线AC、BD在坐标轴上，点A、B的坐标分别是（0，4），（-6，0）．P是折线B-A-D上的动点，过点P作PQ∥y轴交折线B-C-D于点Q．作PG⊥l于点G，连结GQ．设直线l与x轴交于点E，点P的横坐标为m．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）当点P在AD上运动时，
①求线段PQ的长（用关于m的代数式表示）；
②若△PQG为等腰三角形，求m的值；
（3）如图2，连结QE，当点P在AB上运动时，过点Q作QH⊥l于H，若tan∠HQE=$\frac{1}{3}$，直接写出m的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据A，B两点的坐标，可得AO=4，OB=6；然后根据S_菱形ABCD=4S_△AOB，求出菱形ABCD的面积是多少即可．
（2）①首先求出直线AD的函数表达式为y=-$\frac{2}{3}$x+4，直线CD的函数表达式为y=$\frac{2}{3}$x-4；然后判断出当x=m时，PQ=（-$\frac{2}{3}$m+4）-（$\frac{2}{3}$m-4），据此求出线段PQ的长是多少即可．
②根据题意，分三种情况：Ⅰ、当GP=GQ时，∠GQP=∠GPQ=45°，∠PGQ=90°；Ⅱ、当PG=PQ时；Ⅲ、当QP=QG时；然后分类讨论，求出m的值是多少即可．
（3）首先求出直线BC的函数表达式为y=-$\frac{2}{3}$x-4，然后根据点P的横坐标为m，可得点Q的坐标是（m，-$\frac{2}{3}$m-4），最后设点H的坐标是（n，-n+2），根据QH⊥l，以及tan∠HQE=$\frac{1}{3}$，求出m的值是多少即可．

解答 解：（1）∵A（0，4），B（-6，0），
∴AO=4，OB=6，
∴S_菱形ABCD=4S_△AOB=4×$\frac{1}{2}$×4×6=48．

（2）①易得D（6，0），C（0，-4），
∴直线AD的函数表达式为y=-$\frac{2}{3}$x+4，
直线CD的函数表达式为y=$\frac{2}{3}$x-4，
∴当x=m时，PQ=（-$\frac{2}{3}$m+4）-（$\frac{2}{3}$m-4），
即PQ=-$\frac{4}{3}$m+8；

②易得∠GPQ=45°，E（2，0），
Ⅰ、当GP=GQ时，∠GQP=∠GPQ=45°，∠PGQ=90°，
设PQ与x轴交于F，
则PQ=2EF，
即-$\frac{4}{3}$m+8=2（m-2），
解得m=$\frac{18}{5}$．
Ⅱ、如图1，当PG=PQ时，延长PQ交l于点H，，
当PG=PQ时，则GP=GH，
在△GPH中，PH=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$PQ，
即（-$\frac{2}{3}$m+4）-（-m+2）=$\sqrt{2}$（-$\frac{4}{3}$m+8）
∴m=$\frac{198-48\sqrt{2}}{31}$；
Ⅲ、当QP=QG时，则∠PQG=90°，GQ∥x轴，
∵P（m，-$\frac{2}{3}$m+4），则Q（m，$\frac{2}{3}$m-4），G（6-$\frac{2}{3}$m，$\frac{2}{3}$m-4），
∴QG=m-（6-$\frac{2}{3}$m）=$\frac{5}{3}$m-6，
∴$\frac{5}{3}$m-6=-$\frac{4}{3}$m+8，
∴m=$\frac{14}{3}$，
综上，可得
当m=$\frac{18}{5}$、$\frac{198-48\sqrt{2}}{31}$或$\frac{14}{3}$时，△PQG为等腰三角形．

（3）如图2，，
易得B（-6，0），C（0，-4），
∴直线BC的函数表达式为y=-$\frac{2}{3}$x-4，
∵点P的横坐标为m，
∴点Q的坐标是（m，-$\frac{2}{3}$m-4），
∵直线l与x轴交于点E，
∴点E的坐标是（2，0），
设点H的坐标是（n，-n+2），
∵QH⊥l于H，
∴$\frac{-\frac{2}{3}m-4-（-n+2）}{m-n}=1$…①
∵tan∠HQE=$\frac{1}{3}$，
∴QE²=10HE²，
∴${（m-2）}^{2}{+（-\frac{2}{3}m-4）}^{2}$=10×2（n-2）²…②
由①②，解得
$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{18}{7}}\\{n=\frac{6}{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=3}\end{array}\right.$
即m的值是-$\frac{18}{7}$或0．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．