Question

20．如图，△ABC中，AB=m，BC=n（m、n为常数，n＜m）．点D是AB上的一点，且∠DCB=∠A，过点D作DE∥BC于点E．
（1）若m=8，n=4，试求BD；
（2）设△AED与△BCD的周长和为C，△ABC的周长为l．
探究：$\frac{C}{l}$的值是否存在最大或最小值？若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明△BCD∽△BAC，得出对应边成比例，即可求出BD的长；
（2）由平行线得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出$\frac{{C}_{△ADE}}{{C}_{△ABC}}$=$\frac{BC}{AB}$，求出$\frac{C}{l}=\frac{{C}_{△ADE}+{C}_{△BCD}}{{C}_{△ABC}}$=$\frac{AD+BC}{AB}$，由（1）得：BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{{n}^{2}}{m}$，得出$\frac{C}{l}$-（$\frac{n}{m}$）²+$\frac{n}{m}$+1，由二次函数的最值即可得出当$\frac{n}{m}$=-$\frac{1}{-2}$=$\frac{1}{2}$时，即m=2n，$\frac{C}{l}$有最大值，求出最大值即可．

解答 解：（1）∵∠DCB=∠A，∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{BD}{4}=\frac{4}{8}$，
解得：BD=2；
（2）存在最大值；理由如下：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{C}_{△ADE}}{{C}_{△ABC}}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{C}{l}=\frac{{C}_{△ADE}+{C}_{△BCD}}{{C}_{△ABC}}$=$\frac{AD+BC}{AB}$，
由（1）得：BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{{n}^{2}}{m}$，
∴$\frac{C}{l}$=$\frac{m-\frac{{n}^{2}}{m}+n}{m}$=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}+mn}{{m}^{2}}$=1-（$\frac{n}{m}$）²+$\frac{n}{m}$=-（$\frac{n}{m}$）²+$\frac{n}{m}$+1，
当$\frac{n}{m}$=-$\frac{1}{-2}$=$\frac{1}{2}$时，即m=2n，$\frac{C}{l}$有最大值，最大值为$\frac{4×（-1）×1-{1}^{2}}{4×（-1）}$=$\frac{5}{4}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．