Question

【题目】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC = 30，EF⊥AB于点 F，连接 DF.

（1）求证：AC=EF；

（2）求证：四边形 ADFE是平行四边形.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】证明：（1）∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴∠AEF =∠AEB= 30，AE=AB，∠EFA= 90．

∵∠ACB= 90，∠BAC= 30，

∴∠EFA=∠ACB，∠AEF=∠BAC．

∴△AEF≌△BAC．

∴AC = EF．

（2）∵△ACD是等边三角形，

∴AC = AD，∠DAC= 60．

由（1）的结论得AC = EF，

∴AD= EF．

∵∠BAC= 30，

∴∠FAD=∠BAC+∠DAC= 90．

∵∠EFA= 90，

∴EF∥AD．

∵EF=AD，

∴四边形ADFE是平行四边形．