【题目】矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知,点A在x轴上,点C在y轴上,P是对角线OB上一动点(不与原点重合),连接PC,过点P作,交x轴于点D.下列结论:①;②当点D运动到OA的中点处时,;③在运动过程中,是一个定值;④当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为.其中正确结论的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
①根据矩形的性质即可得到;故①正确;
②由点D为OA的中点,得到,根据勾股定理即可得到,故②正确;
③如图,过点P作于F,FP的延长线交BC于E,,则,根据三角函数的定义得到,求得,根据相似三角形的性质得到,根据三角函数的定义得到,故③正确;
④当为等腰三角形时,Ⅰ、,解直角三角形得到,
Ⅱ、OP=OD,根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到,故不合题意舍去;
Ⅲ、,根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到,故不合题意舍去;于是得到当为等腰三角形时,点D的坐标为.故④正确.
解:①∵四边形OABC是矩形,,
;故①正确;
②∵点D为OA的中点,
,
,故②正确;
③如图,过点P作 A于F,FP的延长线交BC于E,
,四边形OFEC是矩形,
,
设,则,
在中,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,故③正确;
④,四边形OABC是矩形,
,
,
,
当为等腰三角形时,
Ⅰ、
Ⅱ、
,
,故不合题意舍去;
Ⅲ、,
,
故不合题意舍去,
∴当为等腰三角形时,点D的坐标为.故④正确,
故选:D.
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【题目】“校园安全”受到全社会的广泛关注,我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了如图两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有 人,扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 °;
(2)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 人;
(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,以AC为腰向外作等腰直角△ACE,∠EAC=90°,连接BE,交AD于点F,交AC于点G.
(1)若∠BAC=50°,求∠AEB的度数;
(2)求证:∠AEB=∠ACF;
(3)试判断线段EF、BF与AC三者之间的等量关系,并证明你的结论.
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【题目】△ABC在直角坐标系内的位置如图所示.
(1)分别写出A、B、C的坐标;
(2)请在这个坐标系内画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称,并写出B1的坐标;
(3)请在这个坐标系内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC关于原点对称,并写出A2的坐标.
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【题目】如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1.下列结论:
①4a﹣2b+c<0;②2a﹣b<0;③abc<0;④b2+8a<4ac.
其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动,运动时间为x秒(x>0).
(1)求几秒后,PQ的长度等于5 cm.
(2)运动过程中,△PQB的面积能否等于8 cm2?并说明理由.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;
(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形,请求出此时点P的坐标;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.
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【题目】在中,,点为直线上一动点(点不与点重合),以为腰作等腰直角,使,连接.
(1)观察猜想
如图1,当点在线段上时,
①与的位置关系为__________;
②之间的数量关系为___________(提示:可证)
(2)数学思考
如图2,当点在线段的延长线上时,(1)中的①、②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明;
(3)拓展延伸
如图3,当点在线段的延长线时,将沿线段翻折,使点与点重合,连接,若,请直接写出线段的长.(提示:做于,做于)
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