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【题目】矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知,点Ax轴上,点Cy轴上,P是对角线OB上一动点(不与原点重合),连接PC,过点P,交x轴于点D.下列结论:①;②当点D运动到OA的中点处时,;③在运动过程中,是一个定值;④当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为.其中正确结论的个数是( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

【答案】D

【解析】

①根据矩形的性质即可得到;故①正确;

②由点DOA的中点,得到,根据勾股定理即可得到,故②正确;

③如图,过点PFFP的延长线交BCE,则,根据三角函数的定义得到,求得,根据相似三角形的性质得到,根据三角函数的定义得到,故③正确;

④当为等腰三角形时,Ⅰ、,解直角三角形得到

Ⅱ、OPOD,根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到,故不合题意舍去;

Ⅲ、,根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到,故不合题意舍去;于是得到当为等腰三角形时,点D的坐标为.故④正确.

解:①∵四边形OABC是矩形,

;故①正确;

②∵点DOA的中点,

,故②正确;

③如图,过点P AFFP的延长线交BCE

,四边形OFEC是矩形,

,则

中,

,故③正确;

,四边形OABC是矩形,

为等腰三角形时,

Ⅰ、

Ⅱ、

,故不合题意舍去;

Ⅲ、

故不合题意舍去,

∴当为等腰三角形时,点D的坐标为.故④正确,

故选:D

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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