Question

【题目】已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．

（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE=∠BAF．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，

∵直线l与⊙O相切于点C，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO；

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

（2）解：如图②，连接BF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAF+∠B=90°，

∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，

在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，

∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠ADE+∠DAE+∠B=180°，
故∠DAE+∠B=90°，

∴∠BAF=∠DAE．

【解析】（1）连接OC，根据切线的性质知OC⊥CD，然后根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行得AD∥OC，根据二直线平行，内错角相等得出∠DAC=∠ACO；根据等边对等角得∠ACO=∠CAO，进而得∠DAC=∠CAO，故AC平分∠DAB；
（2）如图②，连接BF， 根据直径所对的圆周角是直角得∠AFB=90°，根据三角形的内角和得∠BA+∠B=90°，根据三角形的外角定理得∠AEF=∠ADE+∠DAE，根据圆的内接四边形对角互补得∠AEF+∠B=180°，即∠ADE+∠DAE+∠B=180°，故∠DAE+∠B=90°，根据同角的余角相等得出∠BAF=∠DAE．
【考点精析】解答此题的关键在于理解余角和补角的特征的相关知识，掌握互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，以及对平行线的判定与性质的理解，了解由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质．