Question

如图，P、Q是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上两动点，点P从点A，点Q从点B同时出发，运动时间为t秒，速度是1cm/s，则当△BPQ是直角三角形时，t的值是

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：动点型,分类讨论

分析：分两种情况考虑：（i）当PQ⊥BC时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）当QP⊥AB时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．

解答：解：分两种情况考虑：
（i）当PQ⊥BC时，如图1所示：
由题意可得：AP=BQ=tcm，BP=（6-t）cm，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

BQ

BP

=

1

2

，即

t

6-t

=

1

2

，
解得：t=2秒；
（ii）当QP⊥AB时，如图2所示：
由题意可得：AP=BQ=tcm，BP=（6-t）cm，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

BP

BQ

=

1

2

，即

6-t

t

=

1

2

，
解得：t=4秒，
综上所述，t的值是2秒或4秒．
故答案为：2秒或4秒．

点评：此题考查了等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，利用了分类讨论及方程的思想，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．