Question

【题目】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ.

①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；

②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)①S=-t2+t+2；0≤t≤2；t＝时，S最大值＝；②存在，点M的坐标分别为(1，0)和(2，0)．

【解析】

(1)由待定系数法将AD两点代入即可求解．

(2)①分别用t表示出AM、PQ，由三角形面积公式直接写出含有t的二次函数关系式，由二次函数的最大值可得答案；

②分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出t，求得M坐标．

(1)∵二次函数的图象经过A(4，0)和点D(﹣1，0)，

∴，

解得，

所以，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．

(2)①延长NQ交x轴于点P，

∵BC平行于x轴，C(0，4)

∴B(3，4)，NP⊥OA．

根据题意，经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，

则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．

∵∠BCA＝∠MAQ＝45°，

∴QN＝CN＝3﹣t，

∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣(1﹣t)＝1+t，

∴S△AMQ=AM×PQ=(4-2t)(1+t)

＝﹣t2+t+2．

∴S=-t2+t+2=-(t-)2+．

∵a＝﹣1＜0，且0≤t≤2，∴S有最大值．

当t＝时，S最大值＝．

②存在点M，使得△AQM为直角三角形．

设经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，

则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，

∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．

Ⅰ．若∠AQM＝90°，

则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高．

∴PQ是底边MA的中线，

∴PQ＝AP＝MA，

∴1+t＝(4﹣2t)，

解得，t＝，

∴M的坐标为(1，0)．

Ⅱ．若∠QMA＝90°，此时QM与QP重合．

∴QM＝QP＝MA，

∴1+t＝4﹣2t，

∴t＝1，

∴点M的坐标为(2，0)．

所以，使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为(1，0)和(2，0)．