Question

【题目】如图①,在平面直角坐标系中,ニ次函数的图像与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点0出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ

（1）填空:b=_, c=_;

（2）在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;

（3）如图2,点N的坐标为,线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q`恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q`的坐标

Answer 1

【答案】(1) ；(2) △APQ不可能是直角三角形,证明见解析；(3) Q′(，).

【解析】

(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4),将a=代入可得到抛物线的解析式,从而可确定出b、c的值

(2)连结QC.先求得点C的坐标,则PC=5-t,依据勾股定理可求得AC=5,CQ=t+16,接下来,依据CQ-CP=AQ-AP列方程求解即可

(3)连结:OP,取OP的中点R,连结RH,NR,延长NR交线段BC与点Q.首先依据三角形的中位线定理得到EH= QO=t,RH∥OQ,NR=AP=t,则RH=NR,接下来,依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ`的平分线,然后求得直线NR和BC的解析式,最后求得直线NR和BC的交点坐标即可

(1)设抛物线的解析式为y=a(+3)(x-4).将a=-代入得:

∴

(2)在点P、Q运动过程中,△APQ不可能是直角三角形。

理由如下:连结QC

∵在点P、Q运动过程中,∠PAQ、∠PQA始终为锐角,

∴当△APQ是直角三角形时,则∠APQ=90°

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4

∴C(0,4)

∵AP=OQ=t

∴PC=5-t

∵在Rt△AOC中,依据勾股定理得:AC=5,在Rt△COQ中,依据勾股定理可知: CQ=t+16，

在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：

PQ=CQ-CP,在Rt△APQ中,AQ-AP=PQ

∴CQ-CP=AQ-AP,即

(3+t)-t=t+16-(5-t),解得:t=4.5

∵由题意可知:0≤t≤4

∴t=4.5不和题意,即△APQ不可能是直角三角形。

(3)如图所示:连结:OP,取OP的中点R,连结RH,NR,延长NR交线段BC与点Q`

∵点H为PQ的中点,点R为OP的中点

∴EH= QO=t, RH∥OQ

∵A(-3,0),N(-,0)

∴点N为OA的中点

又∵R为OP的中点,

NR=AP=t

∴RH=NR,

∴∠RNH=∠RHN

∵RH∥OQ,

∴∠RHN=∠HNO

∴∠RNH=∠HNO,即NH是∠QNQ`的平分线.

设直线AC的解析式为y=mx+n,把点A(3,0)、C(0,4)

代入得:

解得: ，n=4

∴直线AC的表示为：y=

同理可求得直线BC的表达式为y=-x+4

设直线NR的函数表达式为y=将点N的坐标代入得

,解得:S=2

直线NR的表述表达式为y=

将直线NR和直线BC的表达式联立得

解得:x=, y= ,

∴Q`(,)