Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD=60°，射线EF与AC交于点G．

（1）设∠BAD=α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；

（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）60°+α；（2）CG=2BD，证明见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形EBPG是平行四边形，得BE=PG，再证明△ABD≌△BCP（AAS），可得结论．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵∠BAD=α，

∴∠FAG=60°-α，

∵∠AFG=∠EFD=60°，

∴∠AGE=180°-60°-（60°-α）=60°+α；

（2）CG=2BD，理由是：

如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC=∠EGP，

∵点D关于直线AB的对称点为点E，

∴∠ABE=∠ABD=60°，

∵∠C=60°，

∴∠EBD+∠C=180°，

∴EB∥GP，

∴四边形EBPG是平行四边形，

∴BE=PG，

∵∠DFG+∠C=120°+60°=180°，

∴∠FGC+∠FDC=180°，

∴∠ADB=∠BGP=∠BPC，

∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，

∴△ABD≌△BCP（AAS），

∴BD=PC=BE=PG，

∴CG=2BD．