Question

8．已知：如图1，直线y=$\frac{3}{4}$x+6与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为2．

（1）求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S_△PCD=2S_△PAD，求点P的坐标；
（3）如图2，另有一条直线y=-x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN=∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=$\frac{3}{4}$x+6，可得A（-8，0），C（0，6），设抛物线解析式为y=a（x+8）（x-2），把C（0，6）代入，可得抛物线的函数关系式；
（2）过P作PH⊥AO于H，根据S_△PCD=2S_△PAD，可得AP：PC=1：2，即AH：HO=1：2，进而得到OH=$\frac{2}{3}$AO=8×$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，在直线y=$\frac{3}{4}$x+6中，当x=$-\frac{16}{3}$时，y=$\frac{3}{4}$×（$-\frac{16}{3}$）+6=2，可得点P的坐标为（$-\frac{16}{3}$，2）；
（3）分两种情况进行讨论：①当点Q₁为∠NMO的平分线与x轴的交点时，点Q₁到直线MN和直线MO的距离相等；②当点Q₂为∠NMO的邻补角的平分线与x轴的交点时，点Q₂到直线MN和直线MO的距离相等，根据相似三角形的性质求得N（-$\frac{192}{49}$，0），再根据角平分线的性质可得点Q₁的坐标为（$-\frac{16}{7}$，0）；最后根据MQ₁⊥MQ₂，可得直线MQ₂解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{32}{7}$，进而得到点Q₂的坐标为（$-\frac{96}{7}$，0）．

解答 解：（1）在y=$\frac{3}{4}$x+6中，
令x=0，则y=6；令y=0，则x=-8，
∴A（-8，0），C（0，6），
∵点B的横坐标为2，
∴B（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x+8）（x-2），则
把C（0，6）代入，得6=a×（-16），
∴a=-$\frac{3}{8}$，
∴y=-$\frac{3}{8}$（x+8）（x-2），
即$y=-\frac{3}{8}{x^2}-\frac{9}{4}x+6$；

（2）如图所示，过P作PH⊥AO于H，
∵S_△PCD=2S_△PAD，
∴AP：PC=1：2，
∵PH∥CO，
∴AH：HO=1：2，
即OH=$\frac{2}{3}$AO，
又∵AO=8，
∴OH=8×$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴点P的横坐标为$-\frac{16}{3}$，
在直线y=$\frac{3}{4}$x+6中，当x=$-\frac{16}{3}$时，y=$\frac{3}{4}$×（$-\frac{16}{3}$）+6=2，
∴点P的纵坐标为2，
∴点P的坐标为（$-\frac{16}{3}$，2）；

（3）分两种情况：
①当点Q₁为∠NMO的平分线与x轴的交点时，点Q₁到直线MN和直线MO的距离相等，
∵直线y=-x与直线y=$\frac{3}{4}$x+6交于点M，
∴M（-$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$），
又∵A（-8，0），
∴由两点间距离公式可得AM=$\sqrt{（-\frac{24}{7}+8）^{2}+（\frac{24}{7}）^{2}}$=$\frac{40}{7}$，
∵∠AMN=∠AOM，∠MAN=∠OAM，
∴△AMN∽△AOM，
∴AM²=AN×AO，即（$\frac{40}{7}$）²=AN×8，
∴AN=$\frac{200}{49}$，
∴ON=AO-AN=$\frac{192}{49}$，
即N（-$\frac{192}{49}$，0），
∴由两点间距离公式可得MN=$\frac{120}{49}\sqrt{2}$，MO=$\frac{24}{7}\sqrt{2}$，
∵MQ₁平分∠NMO，
∴$\frac{O{Q}_{1}}{N{Q}_{1}}$=$\frac{MO}{MN}$=$\frac{7}{5}$，
∴OQ₁=$\frac{7}{12}$NO=$\frac{7}{12}×\frac{192}{49}$=$\frac{16}{7}$，
即点Q₁的坐标为（$-\frac{16}{7}$，0）；

②当点Q₂为∠NMO的邻补角的平分线与x轴的交点时，点Q₂到直线MN和直线MO的距离相等，
根据Q₁（$-\frac{16}{7}$，0），M（-$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$），可得
直线MQ₁解析式为y=-3x-$\frac{48}{7}$，
∵MQ₁⊥MQ₂，
∴可设直线MQ₂解析式为y=$\frac{1}{3}$x+b，
把M（-$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$）代入，可得b=$\frac{32}{7}$，
∴直线MQ₂解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{32}{7}$，
∴当y=0时，0=$\frac{1}{3}$x+$\frac{32}{7}$，
解得x=-$\frac{96}{7}$，
即点Q₂的坐标为（$-\frac{96}{7}$，0）．
综上所述，点Q的坐标为（$-\frac{16}{7}$，0）或（$-\frac{96}{7}$，0）．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，角平分线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质以及两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是运用两点间距离公式求得线段的长，运用分类思想进行求解．