Question

18．如图，O为坐标原点，点A在第一象限，且在函数y=$\frac{2}{x}$的图象上．延长AO，交双曲线于另一点B，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC、BD．（注：不能用双曲线关于原点对称解答下列问题）
（1）若点A坐标为（1，2），求点B的坐标；
（2）若点A为动点，猜想四边形ADBC是什么特殊四边形？并证明；
（3）在（2）的条件下，①四边形ADBC的面积会变化吗？如果不变，求出四边形ADBC的面积；如果要变，请说明理由．②点A运动到什么位置时，AB有最小值？求出点A的坐标和AB的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出直线OA的解析式，构建方程组求出交点B的坐标即可．
（2）四边形ACBD是平行四边形．如图，设A（a，$\frac{2}{a}$），可得直线OA的解析式为y=$\frac{2}{{a}^{2}}$x，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{2}{{a}^{2}}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{y=-\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，推出B（-a，-$\frac{2}{a}$），推出A、B关于原点对称，由此即可解决问题．
（3））①结论：四边形ADBC的面积不变．根据S_{平行四边形ACBD}=2S_△ADC=2×$\frac{1}{2}$•AD•CD=2×$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{a}$）•2a=4，可知平行四边形ACBD的面积是定值．
②由（2）可知A（a，$\frac{2}{a}$），B（-a，-$\frac{2}{a}$），可知AB=$\sqrt{（2a）^{2}+（\frac{4}{a}）^{2}}$=$\sqrt{（2a-\frac{4}{a}）^{2}+16}$，所以当2a=$\frac{4}{a}$时，即a=$\sqrt{2}$时，线段AB有最小值，最小值为4．

解答 解：（1）∵A（1，2），
∴直线OA的解析式为y=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴点B坐标为（-1，-2）．

（2）结论：四边形ACBD是平行四边形．
理由：如图，设A（a，$\frac{2}{a}$），
∴直线OA的解析式为y=$\frac{2}{{a}^{2}}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{2}{{a}^{2}}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{y=-\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，
∴B（-a，-$\frac{2}{a}$），
∴A、B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵BC⊥x轴，AD⊥x轴，
∴BC∥AD，BC=AD，
∴四边形ACBD是平行四边形．

（3）①结论：四边形ADBC的面积不变．
理由：由（2）可知A（a，$\frac{2}{a}$），B（-a，-$\frac{2}{a}$），
∵S_{平行四边形ACBD}=2S_△ADC=2×$\frac{1}{2}$•AD•CD=2×$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{a}$）•2a=4，
∴平行四边形ACBD的面积是定值．
②由（2）可知A（a，$\frac{2}{a}$），B（-a，-$\frac{2}{a}$），
∴AB=$\sqrt{（2a）^{2}+（\frac{4}{a}）^{2}}$=$\sqrt{（2a-\frac{4}{a}）^{2}+16}$，
∴当2a=$\frac{4}{a}$时，即a=$\sqrt{2}$时，线段AB有最小值，最小值为4，
此时A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用，平行四边形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会构建函数，理解方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．