如图，已知等边三角形ABC的边长为$2\sqrt{3}$，它的顶点A在抛物线y=x2-2$\sqrt{3}$x上运动，且始终使BC∥x轴．分析 （1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，如图所示．由等边三角形的性质可以求出AD的值，从而求出C的坐标．
（2）过点A作AD⊥BC于点D，设出A点的坐标，由条件表示出AD的值，再由三角函数求出AD的值，从而建立等量关系，就可以求出A的坐标．
（3）B点在坐标轴上有两种情况，当B点在x轴上时，则A的纵坐标为3，代入抛物线的解析式求出A的横坐标就可以求出C的坐标；当B点y轴上时，可以求出A点的横坐标$\sqrt{3}$，代入抛物线的解析式可以求出A点的纵坐标，从而求出C点的坐标．
解答 
解：（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，如图所示．
∵BC∥x轴，BC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴C点的坐标为（$\sqrt{3}$，-3），
∵当x=$\sqrt{3}$时，y=（$\sqrt{3}$）2-2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=-3，
∴当顶点A运动至与原点重合时，顶点C在抛物线上．
（2）过点A作AD⊥BC于点D，
设点A的坐标为（x，x2-2$\sqrt{3}$x）．
∵BC∥x轴，
∴x轴上部分的三角形∽△ABC，
∵S上：S下=1：8，
∴S上：S△ABC=1：9，
∴AD=3（x2-2$\sqrt{3}$x），
∵等边△ABC的边长为2$\sqrt{3}$，
∴AD=AC•sin60°=3，
∴3（x2-2$\sqrt{3}$x）=3，
∴x2-2$\sqrt{3}$x-1=0，
解方程，得 x=$\sqrt{3}$±2，
∴顶点A的坐标为（$\sqrt{3}$+2，1）或（$\sqrt{3}$-2，1）．
（3）当顶点B落在x轴时，则A点纵坐标为3，
∴3=x2-2$\sqrt{3}$x，
∴x=$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$或$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，
∴顶点C的坐标为（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，0），
当顶点B落在y轴时，则A点横坐标为$\sqrt{3}$，
∴y=x2-2$\sqrt{3}$x=-3，
∴顶点C的坐标为（2$\sqrt{3}$，-6），
综上所述，顶点C的坐标为（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$，-6）．
点评 本题是一道二次函数的综合试题，考查了点的坐标，三角形的面积，等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质的综合应用．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
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如图所示是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，直线x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0，②4a-2b+c＜0，③a-b+c=-9a，④若（-3，y1），（$\frac{3}{2}$，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（ ）| A． | ①②③ | B． | ①③ | C． | ①④ | D． | ①③④ |
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在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．查看答案和解析>>
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已知：如图，线段AB=10，C是AB的中点．