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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，直线l1：y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=x与直线l1交于点C，平行于y轴的直线m从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止．直线m交线段BC、OC于点D、E，以DE为斜边向左侧作等腰Rt△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线m的运动时间为t（秒）．
    （1）填空：OA=
    8
    8
    ，∠OAB=
    45°
    45°
    ；
    （2）填空：动点E的坐标为（t，
    t
    t
    ），DE=
    8-2t
    8-2t
    （用含t的代数式表示）；
    （3）求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围；
    （4）设直线m与OA交于点P，是否存在这样的点P，使得P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由于l1与x轴交于A点，令y=0，求得x的值，可得OA；l1与y轴交于B点，令x=0，求得y的值，可得OB；再根据等腰直角三角形的性质可得∠OAB的度数；
    （2）根据等腰直角三角形的性质可得动点E的坐标；DE=DP-EP=DP-t，求出DP=PA=8-t，从而得到DE的长；
    （3）F点的位置有三种可能：①点F在y轴左侧（0≤t＜2）；②点F在y轴上（t=2）；③点F在y轴右侧（2＜t＜4）；求出
    S与t的函数关系式；
    （4）根据△POF为等腰三角形，那么只可能是PO=FO，可得t2=[（1+
    		3
    ）t-4
    		3
    ]2+42，解方程求解即可．
    解答：解：（1）l1与x轴交于A点，∵当y=0时，x=8，
    ∴OA=8； 
    l1与y轴交于B点，∵当x=0时，y=8，
    ∴OB=8=OA，
    ∴∠OAB=45°；

    （2）直线l2：y=x与直线l1交于点C，
    则-x+8=x，
    解得x=4，
    当x=4时，y=4，
    则C（4，4），
    则∠COA=45°，
    则E（OP，PE），即E（t，t），
    DE=DP-EP=DP-t
    ∵∠OAB=45°且直线m平行于y轴，垂直于x轴，
    ∴∠DPA=90°，
    DP=PA=8-t，
    ∴DE=8-2t；

    （3）由题可知：直线m交线段BC、OC于点D、E，以DE为斜边向左侧作等腰Rt△DEF
    所以F点的位置有三种可能
    ①点F在y轴左侧（0≤t＜2），
    此时△DEF与△BCO重叠部分的面积为梯形
    Rt△DEF的两直角边与y轴有两交点，分别过两个交点做x轴的平行线（即垂直于DE的两条线段） 
    S=上面小三角形的面积+中间矩形的面积+下面小三角形的面积（且上面小三角形的面积=下面小三角形的面积），
    S上面小三角形=
    1
    2
    t2，S上下三角形=t2，S中间矩形=（DE-2t）•t=-4t2+8t，
    则S=-3t2+8t；

    ②点F在y轴上（t=2），
    此时△DEF与△BCO重叠部分的面积为等腰直角三角形，四边形DFEC为正方形，
    S=
    1
    2
    DE•t=
    1
    2
    ×（8-4）×2=4；

    ③点F在y轴右侧（2＜t＜4），
    此时△DEF与△BCO重叠部分的面积为等腰直角三角形，四边形 DFEC为正方形，
    S=
    1
    2
    DE（4-t）=t2-8t+16；

    （4）存在．理由如下：
    ∵△DEF的高等于△DEF的斜边的一半，
    ∴H=（8-2t）÷2=4-t，
    又D、E的中点坐标为（t，4），
    ∴F（2t-4，4），
    ∴FO2=（2t-4）2+42=4t2-16t+32，FP2=（2t-4-t）2+42=t2-8t+32，PO2=t2，
    下面分三种情况讨论：1，当OP=OF时，4t2-16t+32=t2，
    整理得：3t2-16t+32=0，
    ∵△=-128＜0，不存在；
    2，当PF=PO时，t2-8t+32=t2，解之得：t=4；
    3，当FP=FO时，即42-16t+31=4t2-16t+32，
    解之得，t1=0（舍去），t2=
    8
    3
    ，
    故当t的值为4s或
    8
    3
     s时△POF为等腰三角形．
    点评：本题主要考查对三角形的面积，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，有一定的难度．
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    x≥2
    ．

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    ．

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    如图，直线l1的解析表达式为y=
    12
    x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A，B，直线l1与精英家教网l2交于点C．
    （1）求直线l2的函数关系式；
    （2）求△ADC的面积；
    （3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

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    （1）求点C的坐标及直线l2所对应的函数关系式；
    （2）求△ABC的面积；
    （3）在直线l2上存在一点P，使得PB=PC，请直接写出点P的坐标．

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