Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD中点，且BE平分∠ABC．求证：AB=AD+BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,梯形中位线定理

专题：证明题

分析：延长BE交AD的延长线于G，由AD∥BC，可得∠G=∠EBC，∠C=∠GDE，由E是CD中点，可得DE=EC，根据AAS可证△DEG≌△CEB，可得DG=BC，进而可得AD+BC=AD+DG=AG，然后由BE平分∠ABC，可得∠ABG=∠EBC，进而得到∠ABG=∠G，然后根据等角对等边，可得AB=AG，进而可得AB=AD+BC．

解答：证明：延长BE交AD的延长线于G，

∵AD∥BC，
∴∠G=∠EBC，∠C=∠GDE，
∵E是CD中点，
∴DE=EC，
在△DEG和△CEB中，

∠G=∠EBC ∠C=∠GDE DE=EC

，
∴△DEG≌△CEB（AAS），
∴DG=BC，
∴AD+BC=AD+DG=AG，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABG=∠EBC，
∴∠ABG=∠G，
∴AB=AG，
∴AB=AD+BC．

点评：本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．