Question

【题目】如图，已知为的直径，是弦，，，于．

求证：是的切线；

若，求的长度．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，BC，由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，又∠BAC=30°，得到∠ABC=60°，再由OC=OB，利用等边对等角得到∠OBC=∠OCB，得到∠OCB的度数为60°，又∠ABD=120°，利用∠ABD-∠ABC求出∠CBD的度数，在直角三角形BCD中，求出∠BCD的度数为30°，可得出∠OCD为直角，即CD与OC垂直，即可得出CD为圆O的切线，得证；
（2）在直角三角形ABC中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，根据AB的长求出BC的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义表示出cos∠BCD，再由BC的长及特殊角的三角函数值即可求出CD的长．

解：证明：连接，，如图所示；

∵为圆的直径，

∴，又，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

则为圆的切线；在中，，，

∴，

在中，，，

∴．