Question

【题目】已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且当和时二次函数的函数值相等．

（）求实数、的值．

（）如图，动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点停止运动时，点随之停止运动．设运动时间为秒．连接，将沿翻折，使点落在点处，得到．

①是否存在某一时刻，使得为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

②设与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①存在，或；②当时， ；当时，S；当时，.

【解析】

（1）根据抛物线图象经过点A以及“当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．
（2）①首先由抛物线解析式能得到点A、B、C三点的坐标，则线段OA、OB、OC的长可求，进一步能得出AB、BC、AC的长；首先用t 表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三种情况讨论：
1、点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；
2、点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；
3、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．
②此题需要分三种情况讨论：
1、当点E在点A与线段AB中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；
2、当点E在线段AB中点与点O之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；
3、当点E在线段OB上时，重叠部分是个小直角三角形．

（）由题意得：，解得：，．

（）①由（）知，

∵，

∴，，

∴，，，

∴，，，

∴，

∴为，且，

∵，，，

又∵，

∴，

∴，

∴翻折后，落在处，∴，

∴，，

若为，点在上时，

i）∴若为直角顶点，则与重合，

∴，，如图

ii）若为直角顶点，∵，

∴，

∵，

∴，

∴，∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，如图

当点在延长线上时，，为钝角三角形，

综上所述，或．

②i）当时，重叠部分为，

∴．

ii）当时，设与相交于点，则重叠部分为四边形，如图，

过点作于，设，则，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴ ．

iii）当时，重叠部分为，如图，

∵，，

∴．