Question

【题目】知识铺垫

通过小学的学习我们知道：

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角如在正方形中，，

．

②等腰三角形中相等的两条边所对的两个角也相等。如在中，如果，那么．

解决问题

如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，解答下列问题：

(1)如果，

①如图2，当点在线段上时(与点不重合)，线段、之间的数量关系为__________，位置关系为__________．

②如图3，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，并说明理由．

拓展延伸

（2）如果，．点在线段上，当__________时，（点、不重合）．

Answer 1

【答案】（1）①相等，垂直；②成立，理由见解析；（2）45°．

【解析】

（1）①证明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD与CF相等且垂直；

②①的结论仍成立，同理证明△DAB≌△FAC，可得结论：垂直且相等；

（2）当∠ACB满足45°时，CF⊥BC；如图4，作辅助线，证明△QAD≌△CAF，即可得出结论．

解：（1）①CF与BD数量关系是相等，位置关系是垂直，理由是：

如图2，∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∴∠DAC+∠CAF=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，

∴∠CAF=∠BAD，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，

∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

即∠BCF=90°，

∴BC⊥CF，

即BD⊥CF；

故答案为：相等，垂直；

②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：

如图3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，

∠ACF=∠ABD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=∠ABC=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD；

（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD，理由是：

如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，

∵∠BCA=45°，

∴∠AQC=45°，

∴∠AQC=∠BCA，

∴AC=AQ，

∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，

∴∠QAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，

∴∠QAD=∠CAF，

∴△QAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AQD=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD．

故答案为：45°．