Question

【题目】如图，直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，

∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），

∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，

∴

解得

∴y=.

（2）

解：如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，

，

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，

∴设点E的坐标是（x，），

则点M的坐标是（x，x+3），

∴EM=﹣（+3）=x2+x，

∴S△BEC=S△BEM+S△MEC

=

=×（）×4

=x2+3x

=（x﹣2）2+3，

∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．

（3）

解：在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．

①如图2，

，

由（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=x+3上，

∴点M的坐标是（2， ），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴AM= = ，

∴AM所在的直线的斜率是： = ；

∵y= x2+ x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x， x2+ x+3），则:

解得或

∵x＜0，

∴点P的坐标是（﹣3， ）．

②如图3，

，

由（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=x+3上，

∴点M的坐标是（2， ），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴AM= = ，

∴AM所在的直线的斜率是： = ；

∵y= x2+ x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x， x2+ x+3），则:

解得或

∵x＞0，

∴点P的坐标是（5， ）．

③如图4，

，

由（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=x+3上，

∴点M的坐标是（2， ），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴AM= = ，

∴AM所在的直线的斜率是： = ；

∵y= x2+ x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x， x2+ x+3），则:

解得

∴点P的坐标是（﹣1， ）．

综上，可得

在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，

点P的坐标是（﹣3，）、（5，）、（﹣1， ）．

【解析】（1）首先根据直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，求出a\c的值是多少，即可求出抛物线的解析式．
（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC ， 进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【考点精析】利用二次函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．