Question

18．如图，已知等边△ABC，以AB为直径的圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AB=12，求FG的长；
（3）在（2）问条件下，求点D到FG的距离．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△CDF是30°的直角三角形可求得CF长，同理可利用△FGA中的60°的三角函数值可求得FG长．
（3）过D作DH⊥AB于H．利用△BDH是30°的直角三角形可求得BH长，同理可求得AG，然后根据GH=AB-AG-BH求得即可．

解答 （1）证明：连结OD，如图1，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°．
而OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线．
∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=3．
∴AF=AC-CF=12-3=9，
在Rt△AFG中，∵∠A=60°，
∴FG=AF×sinA=9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
（3）解：如图2，过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
在Rt△BDH中，∠B=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BD=3，DH=$\sqrt{3}$BH=3$\sqrt{3}$．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{9}{2}$，
∵GH=AB-AG-BH=12-$\frac{9}{2}$-3=$\frac{9}{2}$，FG⊥AB，
∴点D到FG的距离是$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，30°的直角三角形的性质，解直角三角形等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．