Question

【题目】如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．

（1）求⊙P的半径；

（2）当AP=时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）半径为3；（2）相似，理由见解析.

【解析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；

（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出、的值，得出=，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.

（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，

∵⊙P与边AC相切，

∴BD就是⊙P的半径，

在Rt△ABD中，tanA= ，

设BD=x，则AD=2x，

∴x2+(2x)2=152，

解得：x=3，

∴半径为3；

（2）相似，理由见解析，

如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，

∴PH垂直平分MN，

∴PM=PN，

在Rt△AHP中，tanA=，

设PH=y，AH=2y，

y2+（2y）2=（6）2

解得：y=6（取正数），

∴PH=6，AH=12，

在Rt△MPH中，

MH==3，

∴MN=2MH=6，

∴AM=AH-MH=12-3=9，

NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，

∴，，

∴=，

又∵PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

∴∠AMP=∠PNC，

∴△AMP∽△PNC.