Question

7．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE为矩形；
（2）若AE=3，BF=4，AF平分∠DAB，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形性质得出DF∥BE，得出平行四边形BFDE，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质求出BF=DE=4，根据勾股定理求出AD，求出AD=DF，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴平行四形BFDE是矩形；

（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴DF∥AB，DE=BF=4，DF=BE，
∴∠DAF=∠FAB，
又∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DFA=∠DAF，
∴DA=DF，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
在Rt△ADE中
AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BE=5．

点评 本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．