Question

11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行弦交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF，FD．
（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为AD的中点，得到AE=DE，利用AAS得到三角形AFE与三角形DCE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形，理由为：由AF与BD平行且相等，得到四边形AFBD为平行四边形，再由AB=AC，BD=CD，利用三线合一得到AD垂直于BC，即∠ADB为直角，即可得证．

解答 解：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}\\{∠AEF=∠DEC}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=CD，
∴四边形AFDC是平行四边形；

（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形，
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．