Question

20．已知（1+$\sqrt{7}$）²=8+2$\sqrt{7}$，反之，8+2$\sqrt{7}$=1²+2×1×$\sqrt{7}$+（$\sqrt{7}$）²=（1+$\sqrt{7}$）²，又如，12-4$\sqrt{5}$=12-2×$\sqrt{20}$=（$\sqrt{10}$）²-2×$\sqrt{10}$×$\sqrt{2}$+（$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$）²．参考以上方法解决下列问题：
（1）将6+2$\sqrt{5}$写成完全平方的形式为（$\sqrt{5}$+1）²；
（2）若一个正方形的面积为8-4$\sqrt{3}$，则它的边长为（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）²；
（3）4+$\sqrt{15}$的算术平方根为$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据拆项法，可得1+2$\sqrt{5}$+5，根据二次根式的性质，可得完全平方公式；
（2）根据拆项法，可得6-4$\sqrt{3}$+2，根据二次根式的性质，可得完全平方公式；
（3）根据拆项法，可得$\frac{15}{2}$+2•$\frac{\sqrt{15}}{2}$+$\frac{1}{2}$，根据二次根式的性质，可得完全平方公式，再根据二次根式的性质，可得答案．

解答 解：（1）6+2$\sqrt{5}$=1+2$\sqrt{5}$+（$\sqrt{5}$）²=（1+$\sqrt{5}$）²；
（2）8-4$\sqrt{3}$=6-4$\sqrt{3}$+2=（$\sqrt{6}$）²-4$\sqrt{3}$+（$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）²；
（3）$\sqrt{4+\sqrt{15}}$=$\sqrt{4+2•\frac{\sqrt{15}}{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{2}+2•\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{\frac{15}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{2}}$+$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：（$\sqrt{5}$+1）²，（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）²，$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简，利用拆项得出完全平方公式是解题关键，又利用了二次根式的性质．