Question

11．已知抛物线y=x²-（m-2n）x+$\frac{1}{4}$mn（n≠0）与x轴仅有一个交点．
（1）求$\frac{m}{n}$的值；
（2）若该交点在x轴的正半轴上，点A（m-2n，n）和点P（a，p）都在抛物线y=x²-（m-2n）x+$\frac{1}{4}$mn上，点Q（a，q）在直线OA上，当$\frac{1}{2}$≤a≤3时，求线段PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=（m-2n）²-4•$\frac{1}{4}$mn=0，可解得m-4n=0或m-n=0，于是得到$\frac{m}{n}$的值为4或1；
（2）利用抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上得到m=4n，则A（2n，n），再把A（2n，n）代入y=x²-（m-2n）x+$\frac{1}{4}$mn（n≠0）可求出n=1，所以抛物线解析式为y=x²-2x+1，A（2，1），则P（a，a²-2a+1），Q（a，$\frac{1}{2}$a），易得直线OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，接着通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y={x}^{2}-2x+1}\end{array}\right.$得直线OA与抛物线的另一个交点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），如图，然后分类讨论：当$\frac{1}{2}$≤a≤2时，PQ=$\frac{1}{2}$a-a²+2a-1=-（a-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{9}{16}$，利用而此函数的性质得a=$\frac{5}{4}$时，PQ的最大值为$\frac{9}{16}$，当2＜a≤3时，易得a=3时，PQ最大，最大值为$\frac{5}{2}$，于是可判断线段PQ的最大值为$\frac{5}{2}$．

解答 解：（1）根据题意得△=（m-2n）²-4•$\frac{1}{4}$mn=0，
整理得m²-5mn+4n²=0，
（m-4n）（m-n）=0，
所以m-4n=0或m-n=0，
所以$\frac{m}{n}$的值为4或1；
（2）∵抛物线y=x²-（m-2n）x+$\frac{1}{4}$mn（n≠0）与x轴仅有一个交点，且该交点在x轴的正半轴上，
∴m-2n＞0，
∴m=4n，
∴A（2n，n），
把A（2n，n）代入y=x²-（m-2n）x+$\frac{1}{4}$mn（n≠0）得4n²-4n²+n²=n，解得n=1或n=0（舍去），
∴抛物线解析式为y=x²-2x+1，A（2，1），
∴P（a，a²-2a+1），Q（a，$\frac{1}{2}$a），
直线OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y={x}^{2}-2x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
则直线OA与抛物线的另一个交点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），如图，
当$\frac{1}{2}$≤a≤2时，PQ=$\frac{1}{2}$a-a²+2a-1=-（a-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{9}{16}$，a=$\frac{5}{4}$时，PQ的最大值为$\frac{9}{16}$，
当2＜a≤3时，易得a=3时，PQ最大，最大值为9-6+1-$\frac{1}{2}$×3=$\frac{5}{2}$，
∴线段PQ的最大值为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．解决（2）小题的关键是确定抛物线解析式和用a表示PQ的长．