Question

16．（1）已知关于x的一元二次方程x²-4x+m-1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
（2）如图，已知?ABCD，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF
①求证：四边形AECF是平行四边形；
②当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，直接写出AE：AB的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根，
（2）①连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
②根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥EF，从而得到AC⊥BD，所以?ABCD需要满足是菱形，即邻边相等，然后由锐角三角函数求得．

解答 解：（1）由题意可知△=0，即（-4）²-4（m-1）=0，解得m=5．
当m=5时，原方程化为x²-4x+4=0．解得x₁=x₂=2．
所以原方程的根为x₁=x₂=2；
（2）①证明：如图，连接AC交BD于点O，
在?ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
②当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，
AC垂直平分EF，
∴?ABCD是菱形，
∴AB=BC，
设AE交BC于H，
∴AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，EH=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AB，
∴AE=AH-EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB，
∴AE：AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：菱形的判定，平行四边形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，作出辅助线是解题的关键．