Question

5．阅读下面问题：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$
…
（1）通过以上计算，观察规律，写出第n个式子$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
（2）试求$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式分母有理化，归纳规律；
（2）根据（1）中的规律进行分母有理化，运算即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；

（2）原式=$\sqrt{2}-1$+$\sqrt{3}-\sqrt{2}$+…$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$
=$-1+\sqrt{100}$
=-1+10
=9．

点评 本题主要考查了运用平方差公式进行分母用理化，理解分母有理化，发现（1）中的规律是解决此题的关键．