Question

4．如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，-4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，点A'的对应点是点A，点B′的对应点是点B．
（1）写出A，B两点的坐标．
（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．
（Ⅰ）试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）； 
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可以得到OA=OA′，OB=OB′，则A，B的坐标就可以得到．
（2）（Ⅰ）OB=4，C点的位置应分两种情况进行讨论：当C在OB的中点或在中点与B之间时，重合部分是△CDE；当C在OB的中点与O之间时，重合部分是梯形，就可以得到函数解析式．
（Ⅱ）分△ADE以点A为直角顶点和△ADE以点E为直角顶点的两种情况进行讨论．根据相似三角形的对应边的比相等，求出OE的长，就可以得到C点的坐标．

解答 解：（1）∵点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，-4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，点A'的对应点是点A，点B′的对应点是点B，
∴A（0，2），B（4，0）；

（2）（Ⅰ）①点E在原点和x轴正半轴上时，重叠部分是△CDE．
则S_△CDE=$\frac{1}{2}$BC×CD=$\frac{1}{2}$（4-x）（-$\frac{1}{2}$x+2）=$\frac{1}{4}$x²-2x+4，
当E与O重合时，CE=$\frac{1}{2}$BO=2，
∴2≤x＜4；
②当E在x轴的负半轴上时，设DE与y轴交于点F，则重叠部分为梯形
∵△OFE∽△OAB，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$OE，
又∵OE=4-2x，
∴OF=$\frac{1}{2}$（4-2x）=2-x
∴S四边形CDFO=$\frac{x}{2}$×[2-x+（-$\frac{1}{2}$x+2）]=-$\frac{3}{4}$x²+2x，
当点C与点O重合时，点C的坐标为（0，0），
∴0＜x＜2．
综合①②得S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{x}^{2}-2x+4（2≤x＜4）}\\{-\frac{3}{4}{x}^{2}+2x（0＜x＜2）}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）存在，点C的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）和（$\frac{5}{2}$，0）．
解：①如图，当△ADE以点A为直角顶点时，作AE⊥AB交x轴负半轴于点E，

∵△AOE∽△BOA
∴$\frac{EO}{AO}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∵AO=2，
∴EO=1，
∴点E坐标为（-1，0），
∴点C的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）；
②当△ADE以点E为直角顶点时，
同样有△AOE∽△BOA，
$\frac{EO}{AO}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∴EO=1，
∴E（1，0）．
∴点C的坐标（$\frac{5}{2}$，0）．
综合①②知满足条件的点C坐标有（$\frac{3}{2}$，0）和（$\frac{5}{2}$，0）．

点评 本题主要考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：几何图形的面积计算，相似三角形的性质：对应边的比相等，以及分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．