【题目】如图,P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合),连接AP,过点B作BQ⊥AP交CD于点Q,将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′,延长QC′交BA的延长线于点M.
(1)试探究AP与BQ的数量关系,并证明你的结论;
(2)当AB=3,BP=2PC,求QM的长;
(3)当BP=m,PC=n时,求AM的长.
【答案】
(1)
解:AP=BQ.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
∴∠ABQ+∠CBQ=90°.
∵BQ⊥AP,∴∠PAB+∠QBA=90°,
∴∠PAB=∠CBQ.
在△PBA和△QCB中,
,
∴△PBA≌△QCB,
∴AP=BQ;
(2)
解:过点Q作QH⊥AB于H,如图.
∵四边形ABCD是正方形,
∴QH=BC=AB=3.
∵BP=2PC,
∴BP=2,PC=1,
∴BQ=AP= = = ,
∴BH= = =2.
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC∥AB,
∴∠CQB=∠QBA.
由折叠可得∠C′QB=∠CQB,
∴∠QBA=∠C′QB,
∴MQ=MB.
设QM=x,则有MB=x,MH=x﹣2.
在Rt△MHQ中,
根据勾股定理可得x2=(x﹣2)2+32,
解得x= .
∴QM的长为 ;
(3)
解:过点Q作QH⊥AB于H,如图.
∵四边形ABCD是正方形,BP=m,PC=n,
∴QH=BC=AB=m+n.
∴BQ2=AP2=AB2+PB2,
∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2,
∴BH=PB=m.
设QM=x,则有MB=QM=x,MH=x﹣m.
在Rt△MHQ中,
根据勾股定理可得x2=(x﹣m)2+(m+n)2,
解得x=m+n+ ,
∴AM=MB﹣AB=m+n+ ﹣m﹣n= .
∴AM的长为 .
【解析】(1)要证AP=BQ,只需证△PBA≌△QCB即可;(2)过点Q作QH⊥AB于H,如图.易得QH=BC=AB=3,BP=2,PC=1,然后运用勾股定理可求得AP(即BQ)= ,BH=2.易得DC∥AB,从而有∠CQB=∠QBA.由折叠可得∠C′QB=∠CQB,即可得到∠QBA=∠C′QB,即可得到MQ=MB.设QM=x,则有MB=x,MH=x﹣2.在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题;(3)过点Q作QH⊥AB于H,如图,同(2)的方法求出QM的长,就可得到AM的长.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连接CD和EF.
(1)求证:DE=CF;
(2)求EF的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,ABCD的周长为16cm,AC与BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,则△DCE的周长为( )
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,若点O运动到AC的中点,且∠ACB=( )时,则四边形AECF是正方形.
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】计算
(1)(﹣4x2y3)(﹣ xyz)÷( xy2)2
(2)(54x2y﹣108xy2﹣36xy)÷(18xy)
(3)(a+b+3)(a+b﹣3)
(4)20070+2﹣2﹣( )2+2014.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法正确的是( )
A、二元一次方程只有一个解
B、二元一次方程组有无数个解
C、二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解
D、三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com