Question

【题目】如图，抛物线与轴交于、两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上一动点，过点作直线轴于点，交直线于点．设点的横坐标为．

求抛物线的解析式；

若点在轴上方的抛物线上，当时，求点的坐标；

若点’是点关于直线的对称点，当点’落在轴上时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）点的坐标为或存在满足条件的的值为或或或．

【解析】

（1）将抛物线与的轴交点、代入解析式，即可得出结论.（2）由题可知，P，E，F三点的横坐标均为m，用含m的代数式分别表示PE、EF，根据列出方程即可得出结论.（3）根据’是点关于直线的对称点证明为菱形，根据PE=CE，用含m的代数式列方程求解；当P点位于y轴上时，四边形不存在，根据抛物线的性质即可得到m的值.

解：∵抛物线与轴交于，两点，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为．

∵点的横坐标为，

∴，，．

∴，

．

由题意，，即：

①若，整理得：，

解得：或；

②若，整理得：，

解得：或．

由题意，的取值范围为：，故、这两个解均舍去．

∴或．

∴点的坐标为或．

假设存在．

作出示意图如下：

∵点、关于直线对称，

∴，，．

∵平行于轴，∴，

∴，∴，

∴，即四边形是菱形．

当四边形是菱形存在时，

由直线解析式，可得，，由勾股定理得．

过点作轴，交轴于点，易得，

∴，即，解得，

∴，又由可知：

∴．

①若，整理得：，解得或；

②若，整理得：，解得，．

由题意，的取值范围为：，故这个解舍去．

当四边形是菱形这一条件不存在时，

此时点横坐标为，，，三点重合与轴上，也符合题意，

∴

综上所述，存在满足条件的的值为或或或．