Question

【题目】如图所示，在矩形ABCD中，AD=4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，且垂足H在边AD上，连接AF．

（1）求证：FH=ED；

（2）设AE=x，是否存在某个x的值，使得△AEF的面积为3？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）不存在这样的x使得△AEF的面积为3.

【解析】

根据题意可得∠FEH=∠DCE，CE=EF，然后证明△FEH≌△ECD即可得到所证，根据△AEF的面积为，再通过列方程解未知数即可得到存不存在这样的三角形.

（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，

∴CE=EF，

∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，

∴∠FEH=∠DCE.

在△FEH和△ECD中，由AAS可证△FEH≌△ECD，

∴FH=ED.

（2）∵AE=x，则ED=FH=4﹣x，

∴S△AEF=AEFH=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+2＜3，

∴不存在这样的x使得△AEF的面积为3.