Question

【题目】已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AC平分∠BAD，∠ACD＝30°

（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形；

（2）如图2，点E在边BA的延长线上，在边BC上取一点F，连接EC、EF且EC＝EF，求证：BF＝AE；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AF，取AF的中点G，连接BG并延长交线段EC于M，交线段AD于R，过点A做AN∥EC交线段BR于N，若GN＝2，EM＝5，求CM的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CM＝9．

【解析】

（1）根据三个角是60°的三角形是等边三角形即可证明．

（2）如图2中，作FM∥AC交AB于M．证明△BMF是等边三角形，△EMF≌△CAE（AAS）即可解决问题．

（3）如图3中，连接AM，ER．证明△AGR≌△FGB（AAS），△EBR≌△BEF（SAS），再证明△AMN是等边三角形，证明∠ANR≌△AME（SAS），推出EM=RN=5，证明BR=EF=EC=7即可解决问题．

（1）证明：∵∠D=90°，∠ACD=30°，

∴∠CAD=60°，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAB=∠CAD=60°，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA=60°，

∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形．

（2）证明：如图2中，作FM∥AC交AB于M．

∵MF∥AC，

∴∠BMF=∠BAC=60°，∠BFM=∠BCA=60°，

∴∠B=∠BMF=∠BFM=60°，

∴△BMF是等边三角形，

∴MF=BF，∠EMF=120°=∠CAE，

∵EF=EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∴∠MFE=180°﹣60°﹣∠EFC=120°﹣∠EFC，

∠AEC=180°﹣60°﹣∠ECB=120°﹣∠ECF，

∴∠MFE=∠AEC，在△EMF和△CAE中，

，

∴△EMF≌△CAE（AAS），

∴MF=AE，

∴BF=AE．

（3）解：如图3中，连接AM，ER．

∵AR∥BF，

∴∠ARG=∠GFB，∠EAR=∠ABC=60°，

∵∠AGR=∠FGB，AG=GF，

∴△AGR≌△FGB（AAS），

∴AR=BF，RG=BG，

∵AE=BF，

∴AE=AR，

∴△AER是等边三角形，

∴ER=AE=BF，∠BER=∠EBF=60°，

∵BE=EB，

∴△EBR≌△BEF（SAS），

∴∠BEF=∠EBR，EF=BR，

∵∠BEF=∠ACE，

∴∠ABM=∠ACM，

∴A，B，C，M四点共圆，

∴∠CMB=∠CAB=60°，

∴∠EMR=∠EAR=60°，

∴A，E，R，M四点共圆，

∴∠AMF=∠ARE=60°，

∵AN∥EC，

∴∠ANM=∠NMC=60°，∠NAM=∠AME=60°，

∴△AMN是等边三角形，

∴AN=AM，

∵∠NAM=∠EAR=60°，

∴∠NAR=∠MAE，

∵AR=AE，

∴∠ANR≌△AME（SAS），

∴EM=RN=5，

∵GN=2，

∴GR=GB=2+5=7，

∴BR=EF=EC=14，

∴CM=EC﹣EM=14﹣5=9．