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【题目】如图,已知RtΔABC,C=90°,D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E.

(1)求证:DE是圆O的切线.

(2)若AE:EB=1:2,BC=6,求AE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】:

试题分析:利用思路:知(连)半径,证垂直,证明DE是圆O的切线;利用射影定理或相似三角形证明:BE2=BE×BA,再列方程,求AE的长.

试题解析:(1)如图所示,连接OE,CE

AC是圆O的直径

∴∠AEC=BEC=90°

D是BC的中点

ED=BC=DC

∴∠1=2

OE=OC

∴∠3=4

∴∠1+3=2+4,即OED=ACD

∵∠ACD=90°

∴∠OED=90°,即OEDE

E是圆O上的一点

DE是圆O的切线.

(2)由(1)知BEC=90°

在RtΔBEC与RtΔBCA中,B为公共角,

ΔBECΔBCA

即BC2=BE×BA

AE:EB=1:2,设AE=x,则BE=2x,BA=3x.

BC=6

62=2x×3x

x=,即AE=.

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