Question

已知，在三角形ABC中，AB=AC=10，BC=12．在三角形ABC中截出一个矩形DEFG，（如图）．设EF=x，S_矩形DEFG=y，写出y与x之间的函数关系式，列出表格，并画出相应的图象．根据以上三种表达方式回答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是什么？
（2）图象的对称轴和顶点坐标．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：首先过点作AM⊥BC于点M，由AB=AC=10，BC=16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，易证得△ADG∽△ABC，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程

DG

12

=

8-x

8

，则可表示出DG的长，继而求得y的函数关系式，列表作出图象后即可确定答案．

解答： 解：过点作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=10，BC=16，
∴BM=

1

2

BC=6，
在Rt△ABM中，AM=

AM2-BM2

=8，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，
∴MN=DE=x，
∵DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，
∴

DG

12

=

8-x

8

，
解得：DG=-

3

2

x+12，
∴y=S_矩形DEFG=DE•DG=x•（-

3

2

x+12）=-

3

2

x²+12x；
列表得：

x	…	0	2	4	6	8	…
y	…	0	18	24	18	0	…

（1）自变量的取值范围是0＜x＜8；
（2）图象的对称轴是x=4，顶点坐标为（4，24）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．