Question

如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=24，M是BC的中点，若点P为线段AD上的一点，连接AM、PM，△PAM是以AP为腰的等腰三角形，则AP的长为　　　　　　．

Answer 1

　13或　．

 

【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．

【专题】分类讨论．

【分析】分两种情况：①当AP=AM时，根据勾股定理求出AM即可得出AP；

（2）当AP=MP时，P在AM的垂直平分线上，证明△PEA∽△ABM，得出对应边成比例，即可求出AP．

【解答】解：分两种情况：①当AP=AM时，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠BAD=90°，AD∥BC，

∵M是BC的中点，

∴BM=BC=12，

∴AM===13，

∴AP=13；

（2）当AP=MP时，P在AM的垂直平分线上，如图所示：

则∠AEP=90°=∠B，AE=AM=，

∵AD∥BC，

∴∠PAE=∠AMB，

∴△PEA∽△ABM，

∴，即，

解得：AP=；

故答案为：13或．

【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．