Question

如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E、F，EB与CF相交于点G．

（1）求证：DA=DC；

（2）⊙O的半径为3，AC=，求GC的长．

　

Answer 1

【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，AB⊥DA，可得AD是⊙O的切线，又由DC是⊙O切线，根据切线长定理即可求得答案；

（2）由勾股定理求出EG、CF、BC长，根据△BGC∽△FGE求出===，则CG=CF；利用勾股定理求出CF的长，则CG的长度可求得．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AB⊥DA，

∴AD是⊙O的切线，

∵DC是⊙O切线，

∴DA=DC．

（2）解：由切线长定理得：DO垂直平方AC，

∵AC=，

∴AM=，

在RT△MAO中，OM===，

∴EM=3﹣=，

在RT△EMC中，CE==，

∵EF是直径，

∴∠ECF=90°，

∴CF===，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴BC===，

∵∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，（圆周角定理）

∴△BGC∽△FGE，

∴===，

∵CF=CG+GF， =，

∴CG=CF=×=．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，综合性比较强，难度偏大．