Question

3．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为
直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有①③（填序号）

Answer 1

分析 由抛物线的对称轴方程得到b=-4a＞0，则可对①进行判断；由于x=-3时，y＜0，则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点为（-1，0）得a-b+c=0，把b=-4a代入可得c=-5a，则8a+7b+2c=-30a，于是可对③进行判断；根据而此函数的性质可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=2，
∴b=-4a＞0，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴x=-1时，a-b+c=0，
∴a+4a+c=0，
∴c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以④错误．
故答案为①③．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．