Question

已知抛物线y=x²+1（如图所示）．

（1）填空：抛物线的顶点坐标是（0，1），对称轴是x=0（或y轴）；

（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）．

（2）∵△PAB是等边三角形，

∴∠ABO=90°﹣60°=30°．

∴AB=20A=4．

∴PB=4．

解法一：把y=4代入y=x²+1，

得  x=±2．

∴P₁（2，4），P₂（﹣2，4）． 

解法二：∴OB==2

∴P₁（2，4）．   

根据抛物线的对称性，得P₂（﹣2，4）．

（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4）

∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b

∴

解得：

∴解析式为：y=x+2

设存在点N使得OAMN是菱形，

∵点M在直线AP上，

∴设点M的坐标为：（m，m+2）

如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQ﹣OA=m+2﹣2=m

∵四边形OAMN为菱形，

∴AM=AO=2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ²+MQ²=AM²，

即：m²+（m）²=2²解得：m=±

代入直线AP的解析式求得y=3或1，

当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：

当N在右图1位置时，

∵OA=MN，

∴MN=2，

又∵M点坐标为（，3），

∴N点坐标为（，1），即N₁坐标为（，1）．

当N在右图2位置时，

∵MN=OA=2，M点坐标为（﹣，1），

∴N点坐标为（﹣，﹣1），即N₂坐标为（﹣，﹣1）．

当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：

第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（﹣，1）；

第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，﹣1）

∴存在N₁（，1），N₂（﹣，﹣1）N₃（﹣，1），N₄（，﹣1）使得四边形OAMN是菱形．

点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年2015届中考的热点问题．