Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(OA<OB)是方程组的解，点C是直线与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=

(1)求点C的坐标；

(2)求直线AD的解析式；

(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形（邻边相等的平行四边形）?若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C点的坐标是（3，6）；（2）AD的函数解析式为y＝x＋6；（3）Q1（3，3）、Q2（3，3）、Q3（6，6）、Q4（3，3）．

【解析】

（1）根据解方程组，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程组，可得点C的坐标；
（2）根据D在OC上，OD＝，可得方程组，根据解方程组，可得D点坐标，根据待定系数法，可得AD的函数解析式；
（3）结合菱形的性质，分情况讨论：若P在x轴上方，若P在x轴下方，若Q在x轴上方，若Q在x轴下方，进行计算即可得到答案．

（1）解，得，即A（6，0）、B（0，12）．设直线AB的解析式y＝kx＋b，把A、B点的坐标代入函数解析式，得，解得．直线AB的解析式y＝2x＋12，由点C是直线y＝2x与直线AB的交点，得，解得,C点的坐标是（3，6）；
（2）由点D在线段OC上，OD＝，
得，解得，即D点坐标是（2，4）
设AD的函数解析式为y＝kx＋b，把A、D点的坐标代入，得
，解得．
AD的函数解析式为y＝x＋6；
（3）过D作DF⊥x轴，由（2）中D的坐标可知，则DF＝AF＝4，所以∠OAD＝45°，因为以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，所以需分情况讨论：

若P在x轴上方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ＝OA＝/span>6＝AP，过P作PM⊥x轴，

如图所示，

因为∠OAD＝45°，由三角函数可得PM=AM＝＝3，OM＝63，即P（63，3），

所以Q的横坐标为636＝3，Q1（3，3）；

若P在x轴下方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ＝OA＝6＝AP．过P作PM⊥x轴，

如图所示，

因为∠MAP＝∠OAD＝45°，由三角函数得到PM＝AM=＝3，OM＝6＋3，即P（6＋3，3），

所以Q的横坐标为6＋36＝3，Q2（3，3）；

若Q在x轴上方，OAQP是菱形，则∠OAQ＝2∠OAD＝90°，所以此时OAQP是正方形．

又因正方形边长为6，所以此时Q3（6，6）；

若Q在x轴下方，OPAQ是菱形，则∠PAQ＝2∠OAD＝90°，

所以此时OPAQ是正方形．又因正方形对角线为6，

由正方形的对称性可得Q4（3，/span>3）．