Question

开口向上的抛物线y=a（x+k）²的展开式为y=ax²+2akx+ak²，若抛物线于y轴交点的纵坐标为

9

4

，抛物线的顶点、原点、它与y轴交点三点围成的三角形面积为

27

4

，求抛物线的解析式，并指出对称轴及顶点坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：由已知条件可知抛物线的顶点A（-k，0），ak²=

9

4

，根据三角形的面积可求得k的值，进而求得a的值，即可求得抛物线的解析式，并指出对称轴及顶点坐标．

解答：解：由抛物线y=a（x+k）²的展开式为y=ax²+2akx+ak²可知，抛物线的顶点A（-k，0），
∴OA=|k|，
∵抛物线于y轴交点B的纵坐标为

9

4

，
∴OB=ak²=

9

4

，
∵抛物线的顶点、原点、它与y轴交点三点围成的三角形面积为

27

4

，即三角形AOB的面积=

27

4

，
∴

1

2

OA•OB=

27

4

，
即

1

2

|k|•

9

4

=

27

4

，解的：|k|=6，
∴k=6，或k=-6，
∴抛物线的顶点坐标（-6，0）或（6，0），对称轴x=-6或x=6，
∵OB=ak²=

9

4

，
∴a=

1

16

，
∴抛物线的解析式为y=

1

16

x²+

3

4

x+

9

4

或y=

1

16

x²-

3

4

x+

9

4

．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，通过三角形的面积求得系数k和a是本题的关键．