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【题目】如图,在菱形ABCD中,M,N分别是边AB,BC的中点,MP⊥AB交边CD于点P,连接NM,NP.

(1)若∠B=60°,这时点P与点C重合,则∠NMP=度;
(2)求证:NM=NP;
(3)当△NPC为等腰三角形时,求∠B的度数.

【答案】
(1)30
(2)

证明:

如图1,延长MN交DC的延长线于点E,

∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥DC,

∴∠BMN=∠E,

∵点N是线段BC的中点,∴BN=CN,

在△MNB和△ENC中,

∴△MNB≌△ENC,

∴MN=EN,

即点N是线段ME的中点,

∵MP⊥AB交边CD于点P,

∴MP⊥DE,

∴∠MPE=90°,

∴PN=MN= ME


(3)

如图2

∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC,

又∵M,N分别是边AB,BC的中点,

∴MB=NB,

∴∠BMN=∠BNM,

由(2)知:△MNB≌△ENC,

∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE,

又∵PN=MN=NE,

∴∠NPE=∠E,

设∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°,

则∠NCP=2x°,∠NPC=x°,

①若PN=PC,则∠PNC=∠NCP=2x°,

在△PNC中,2x+2x+x=180,

解得:x=36,

∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°,

②若PC=NC,则∠PNC=∠NPC=x°,

在△PNC中,2x+x+x=180,

解得:x=45,

∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°.

③NP=NC时,不可能.

故∠B为108°或90°.


【解析】解:(1)∵MP⊥AB交边CD于点P,∠B=60°,点P与点C重合,
∴∠NPM=30°,∠BMP=90°,
∵N是BC的中点,∴MN=PN,
∴∠NMP=∠NPM=30°;
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识,掌握菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半.

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(1)判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”,说明理由;

(2)若函数y = x2 - xy = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”,求a的取值范围;

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