【题目】如图,在菱形ABCD中,M,N分别是边AB,BC的中点,MP⊥AB交边CD于点P,连接NM,NP.
(1)若∠B=60°,这时点P与点C重合,则∠NMP=度;
(2)求证:NM=NP;
(3)当△NPC为等腰三角形时,求∠B的度数.
【答案】
(1)30
(2)
证明:
如图1,延长MN交DC的延长线于点E,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥DC,
∴∠BMN=∠E,
∵点N是线段BC的中点,∴BN=CN,
在△MNB和△ENC中,
,
∴△MNB≌△ENC,
∴MN=EN,
即点N是线段ME的中点,
∵MP⊥AB交边CD于点P,
∴MP⊥DE,
∴∠MPE=90°,
∴PN=MN= ME
(3)
如图2
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
又∵M,N分别是边AB,BC的中点,
∴MB=NB,
∴∠BMN=∠BNM,
由(2)知:△MNB≌△ENC,
∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE,
又∵PN=MN=NE,
∴∠NPE=∠E,
设∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°,
则∠NCP=2x°,∠NPC=x°,
①若PN=PC,则∠PNC=∠NCP=2x°,
在△PNC中,2x+2x+x=180,
解得:x=36,
∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°,
②若PC=NC,则∠PNC=∠NPC=x°,
在△PNC中,2x+x+x=180,
解得:x=45,
∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°.
③NP=NC时,不可能.
故∠B为108°或90°.
【解析】解:(1)∵MP⊥AB交边CD于点P,∠B=60°,点P与点C重合,
∴∠NPM=30°,∠BMP=90°,
∵N是BC的中点,∴MN=PN,
∴∠NMP=∠NPM=30°;
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识,掌握菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某种子培育基地用A,B,C,D四种型号的小麦种子共2 000粒进行发芽实验,从中选出发芽率高的种子进行推广.通过实验得知,C型号种子的发芽率为95﹪,根据实验数据绘制了图-1和图-2两幅尚不完整的统计图.
(1)D型号种子的粒数是______;
(2)请你将图-2的统计图补充完整;
(3)通过计算说明,应选哪一个型号的种子进行推广;
(4)若将所有已发芽的种子放到一起,从中随机取出一粒,求取到B型号发芽种子的概率
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点P( x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b时,有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”,否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”.
例如,点P(x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点,当-3 ≤ x ≤ -1时,y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2,通过构造函数y = x + 2并研究该函数在-3 ≤ x ≤ -1上的性质,得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1,所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”,说明理由;
(2)若函数y = x2 - x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”,求a的取值范围;
(3)若函数y =与y =-2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.
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