Question

【题目】如图：在△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm，S△ABC＝14cm2，点P从点B出发，以3cm∕s的速度沿边BC向终点C运动，过点P作PQ⊥BC交折线BAC于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．

（1）∠C的度数为　 　；

（2）当点P不与点C重合，且点F落在边AC上时x的值为　 　．

（3）当点P不与点B，C重合时，求y关于x的函数解析式；

（4）当直线BD平分△ABC的面积时，直接写出x的值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）；（3）①0＜x≤时，y＝4x2；②＜x≤1时，y＝；；③1＜x＜时y＝；（4）

【解析】

（1）作AM⊥BC于M，由三角形面积求出AM＝4，由勾股定理得出BM＝＝3，证出AM＝CM，得出△ACM是等腰直角三角形，即可得出答案；

（2）作AM⊥BC于M，则PQ∥AM，得出△BPQ∽△BMA，得出＝＝，求出PQ＝4x，BQ＝5x，得出QD＝PD＝2x，证明△AQF∽△ABC，得出＝，即可得出答案；

（3）分三种情况：①0＜x≤时，由正方形面积即可得出答案；

②＜x≤1时，延长FE交BC于N，则FN＝PQ＝4x，求出HN＝CN＝7﹣3x﹣2x＝7﹣5x，GF＝HF＝9x﹣7，由正方形DEFQ的面积﹣△FGH的面积即可得出答案；

③1＜x＜时，延长FE交BC于N，点E在AC上，则FN＝PQ＝4x，求出QF＝EF＝EN＝CN＝（7﹣3x），由正方形面积即可得出答案；

（4）当直线BD平分△ABC的面积时，延长BD交AC于K，则K为AC的中点，△CPQ是等腰直角三角形，得出CP＝PQ＝7﹣3x，PD＝PQ＝（7﹣3x），作KO⊥BC于O，则KO∥PQ，△OCK是等腰直角三角形，得出CO＝KO＝CK＝2，△BPD∽△BOK，得出BO＝BC﹣CO＝5，＝，即可得出答案．

解：（1）作AM⊥BC于M，如图1所示：

∵S△ABC＝BC×AM＝×7×AM＝14，

∴AM＝4，

∴BM＝＝＝3，

∴CM＝BC﹣BM＝7﹣3＝4，

∴AM＝CM，

∴△ACM是等腰直角三角形，

∴∠C＝45°；

故答案为：45°；

（2）作AM⊥BC于M，如图2所示：

则PQ∥AM，

∴△BPQ∽△BMA，

∴＝＝，即＝＝，

解得：PQ＝4x，BQ＝5x，

∵D为PQ中点，

∴QD＝PD＝2x，

∵四边形DEFQ是正方形，

∴QF＝QD＝2x，QF⊥PQ，

∵PQ⊥BC，

∴QF∥BC，

∴△AQF∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得：x＝；

故答案为：；

（3）分三种情况：①0＜x≤时，如图1所示：

y＝正方形DEFQ的面积＝DQ2＝4x2；

②＜x≤1时，如图3所示：

延长FE交BC于N，则FN＝PQ＝4x，△CNH、△FGH是等腰直角三角形，

∴HN＝CN＝7﹣3x﹣2x＝7﹣5x，GF＝HF＝4x﹣（7﹣5x）＝9x﹣7，

∴y＝正方形DEFQ的面积﹣△FGH的面积＝（2x）2﹣×（9x﹣7）2＝2+63x﹣，

即y＝；

③1＜x＜时，如图4所示：

延长FE交BC于N，点E在AC上，则FN＝PQ＝4x，△CPQ、△CNE、△QFE是等腰直角三角形，

∴QF＝EF＝EN＝CN＝（7﹣3x），

∴y＝正方形DEFQ的面积＝ [（7﹣3x）]2＝2﹣x+，即y＝；

（4）当直线BD平分△ABC的面积时，连接BD并延长BD交AC于K，如图5所示：

则K为AC的中点，△CPQ是等腰直角三角形，

∴CP＝PQ＝7﹣3x，PD＝PQ＝（7﹣3x），

∵AC＝＝4，

∴CK＝AC＝2，

作KO⊥BC于O，

则KO∥PQ，△OCK是等腰直角三角形，

∴CO＝KO＝CK＝2，△BPD∽△BOK，

∴BO＝BC﹣CO＝5，＝，即＝，

解得：x＝．

即当直线BD平分△ABC的面积时，x的值为．