Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．

（1）当⊙O的半径为1时，

①分别判断在点D（， ），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有　 ；

②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；

③点P与点O的距离d满足范围___________________时，点P是⊙O的相邻点；

④点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标x的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①D、E ② 证明见解析；③ 0≤d≤3且d≠1 ④0≤x≤3；(2) 0≤x≤9

【解析】试题分析：（1）由相邻点的定义可知：在圆C内的点必为相邻点，在圆C外的点必须满足，2AB2=PC2-1，其中A为PB的中点，且AB≤2，所以若半径为1的圆C有相邻点P，则PC的长必须满足0≤PC≤3且PC≠1，分别求出D、E、F到⊙O的距离即可判断．求出直线y=-x+3与坐标轴的交点坐标分别为（0，3）和（3，0），根据（1）问中结论可知，P的横坐标的取值范围是：0≤x≤3；

（2）根据（1）问中可知：0≤PC≤3且PC≠1，又因为点P在线段MN上移动，所以点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，再根据点C在x轴上，即可得出C的横坐标取值范围．

试题解析：（1）由定义可知，

当点P在⊙C内时，

由垂径定理可知，点P必为⊙C的相邻点，

此时，0≤PC＜1；

当点P在⊙C外时，设点A是PB的中点，连接PC交⊙C于点M，延长PC交⊙C于点N，连接AM，BN，

∵∠AMP+∠NMA=180°，

∠B+∠NMA=180°，

∴∠AMP=∠B，

∵∠P=∠P，

∴△AMP∽△NBP，

∴，

∴PAPB=PMPN，

∵点A是PB的中点，

∴AB=PA，

又∵⊙C的半径为1，

∴2AB2=（PC-CM）（PC+CN），

∴2AB2=PC2-1，

又∵AB是⊙C的弦，

∴AB≤2，

∴2AB2≤8，

∴PC2-1≤8，

∴PC2≤9，

∴PC≤3，

∵点P在⊙C外，

∴PC＞1，

∴1＜PC≤3，

当点P在⊙C上时，

此时PC=1，但不符合题意，

综上所述，半径为1的⊙C，当点P与圆心C的距离满足：0≤PC≤3，且PC≠1时，点P为⊙C的相邻点；

①∵D（， ），

∴DO=，

∵E（0，-），

∴OE=，

∵F（4，0），

∴OF=4，

∴D和E是⊙O的相邻点；

②连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于A、B两点；

③令x=0代入y=-x+3，

∴y=3，

令y=0代入y=-x+3，

∴x=3，

∴y=-x+3与坐标轴的交点为（0，3）和（3，0）

∵由于点P在直线y=-x+3上，且点P是⊙O的相邻点，

∴0≤PO≤3，且PO≠1

又∵点P在⊙O外，

∴1＜PO≤3，

∴p的横坐标范围为：0≤x≤3；

（2）令x=0代入y=-x+2，

∴y=2，

∴N（0，2），

令y=0代入y=-x+2，

∴x=6，

∴M（6，0），

∵点P是半径为1的⊙C的相邻点，

∴0≤PC≤3且PC≠1，

∴点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，

∵点C在x轴上，

∴点C的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．