【题目】如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E分别在边AB、CB上,CD=DE,∠CDB=∠DEC,过点C作CF⊥DE于点F,交AB于点G,
(1)求证:△ACD≌△BDE;
(2)求证:△CDG为等腰三角形.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据题意和图形,利用全等三角形的判定可以证明结论成立;
(2)根据题意和(1)中的结论,利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定可以证明结论成立.
证明:(1)∵∠CDB=∠DEC,
∴∠ADC=∠BED,
∵AC=BC,
∴∠A=∠B,
在△ACD与△BDE中,
,
∴△ACD≌△BDE(AAS);
(2)由(1)知,△ACD≌△BDE,
∴∠ACD=∠BDE,
∵在Rt△ACB中,AC=BC,
∴∠A=∠B=45°,
∴∠CDG=45°+∠ACD,∠DGC=45°+∠BCG,
∴∠CDF=45°,
∵CF⊥DE交BD于点G,
∴∠DFC=90°,
∴∠DCF=45°,
∵DC=DE,
∴∠DCE=∠DEC,
∵∠DCE=∠DCF+∠BCG=45°+∠BCG,∠DEC=∠B+∠BDE=45°+∠BDE,
∴∠BCG=∠BDE,
∴∠ACD=∠BCG,
∴∠CDG=∠CGD,
∴CD=CG,
∴△CDG是等腰三角形.
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【题目】某服装店用6000元购进A、B两种新式服装.按照标价出售后获利3800(毛利润=售价-进价),这两种服装的进价、售价如表所示:
类型 价格 | A型 | B型 |
进价(元/件) | 60 | 100 |
售价(元/件) | 100 | 160 |
(1)求这两种服装各购进的件数:
(2)如果A种服装售价不变,B种服装降价a元出售.这批服装全部售完后所获利润为w.
①写出w与a之间的函数关系式:
②当20≤a≤50时,这批服装全部售出后,获得的最大利润是多少?
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,弦CD平分∠ACB,点E为弧AD上一点,连接CE、DE,CD与AB交于点N.
(1)如图1,求证:∠AND=∠CED;
(2)如图2,AB为⊙O直径,连接BE、BD,BE与CD交于点F,若2∠BDC=90°﹣∠DBE,求证:CD=CE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接OF,若BE=BD+4,BC=,求线段OF的长.
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【题目】A、B两名同学在同一个学校上学,B同学上学的路上经过A同学家。A同学步行,B同学骑自行车,某天,A,B两名同学同时从家出发到学校,如图,A表示A同学离B同学家的路程A(m)与行走时间(min)之间的函数关系图象,B表示B同学离家的路程B(m)与行走时间(min)之间的函数关系图象.
(1)A,B两名同学的家相距________m.
(2)B同学走了一段路后,自行车发生故障,进行修理,修理自行车所用的时间是 _____min.
(3)B同学出发后______min与A同学相遇.
(4)求出A同学离B同学家的路程A与时间的函数关系式.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,过点B作BD⊥AC于点D,BE平分∠ABD交AC于点E.
(1)求证:CB=CE;
(2)若∠CEB=80°,求∠DBC的大小.
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【题目】如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为( )
A. 90°B. 95°C. 100°D. 105°
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边 且BE=CF,AD+EC=AB.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数.
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【题目】如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点,AB为腰,在第三象限作等腰Rt△ABC.
(1)求C点的坐标及△ABC的面积;
(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点在y轴负半轴上向下运动时,若以P为直角顶点,PA为腰作等腰Rt△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求证:OP=DE+2.
(3)已知点F坐标为(-2,-2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,请在图3作出等腰Rt△FGH,且始终保持∠GFH=90°,若FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0), 当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时,以下结论:①m-n为定值;②m+n为定值,请判断其中哪些结论是正确的,并求出其值.
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【题目】如图,在△ABC中,已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB.
(1)若∠ABC=70°,则∠NMA的度数是 度.
(2)若AB=8cm,△MBC的周长是14cm.
①求BC的长度;
②若点P为直线MN上一点,请你直接写出△PBC周长的最小值.
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